Как работают сложные проценты: примеры из реальной жизни

Что общего между инвестиционным портфелем, ядерной бомбой и коронавирусом? — Экспоненциальный рост. В атомной физике это называется коэффициентом деления нейтронов; в эпидемиологии – коэффициентом распространения инфекции; в финансах это сложный процент.

Сложный процент или Капитализация процентов – это одно из самых важных понятий, которое необходимо знать при управлении личными финансами. Это то, что делает возможным быстрый рост капитала и отличает инвестирование от банального накопления.

Как рассчитать сложные проценты

Финансовый результат рассчитывается путем умножения первоначальной основной суммы на единицу плюс годовая процентная ставка. Данная ставка повышенная до количества сложных периодов минус один. Общая начальная сумма кредита затем вычитается из полученной стоимости.

Формула для расчета сложных дивидендов:

Сложный дивиденд = Общая сумма основного долга и процентов в будущем (или будущей стоимости) за вычетом основной суммы в настоящее время (или текущей стоимости).

Выделяют две используемые формулы

1. Капитализация дивидендов= – P.
2. Капитализация дивидендов= P [(1 + i) n — 1].

(Где P = Основная сумма, i = номинальная годовая процентная ставка в процентном выражении, а n = количество начисляемых периодов.)

Возьмем трехлетний кредит в размере 10 000 дол под 5% годовых. Какова будет сумма процентов? В этом случае получаем: 10 000 дол [(1 + 0,05) 3 — 1] = 10 000 дол [1.157625 — 1] = 1 576,25 дол.

Рост сложных процентов

Используем приведенный выше пример. Сложный дивиденд также учитывает накопленный процент за предыдущие периоды. Сумма результата не является одинаковой для всех трех лет, как это было бы с простым процентом. Общая сумма, которая подлежит выплате в течение трехлетнего периода по этому кредиту, составляет 1 576,25 дол.

Сложные периоды

При расчете сложного дивиденда количество периодов начисления составляет существенную разницу. Основное правило состоит в следующем: чем больше число сложных периодов, тем больше сумма надбавок. Обратим внимание на ситуацию. Она демонстрирует разницу, которую может составить число начисляемых периодов для займа в 10 000 до с годовой процентной ставкой 10% в течение 10-летнего периода.

Сложный дивиденд значительно повышает доходность инвестиций в долгосрочной перспективе. В это же время депозит в размере 100 000 дол получает 5% простых надбавок. Он будет приносить суммы в размере 50 000 дол в течение 10 лет, капитализация составит 5% на 10 000 дол (62 889,46 дол за тот же период).

Чудо сложного процента

Один из Ротшильдов провозгласил сложный процент «восьмым чудом света». Глядя на то, как увеличиваются сегодня капиталы инвесторов, грамотно пользующихся его преимуществом, трудно с ним не согласиться.

Сложный процент – это начисление «процентов на проценты», когда доход, начисленный за один расчётный период, прибавляется к общей сумме вложенного капитала, и в следующий расчётный период процент начисляется уже на большую сумму. Процесс прибавления дохода к телу депозита называется капитализацией процентов.

Например, за год банк начисляет вам 10% от вклада в $1 000, и в конце года ваш вклад составляет $1 100. В течение следующего года, 10% будут начисляться уже на сумму $1 100, и под конец второго года ваш капитал составит уже не $1 200, а $1 210.

Конечно, это не самый впечатляющий пример – чтобы воспользоваться преимуществом сложного процента с банковской ставкой, придётся ждать десятилетия. Однако сегодня в распоряжении инвесторов есть еще одно чудо – международный валютный рынок Forex. Доход, полученный на этом рынке в результате даже одной сделки (которая может длиться от нескольких часов до нескольких дней), может поступить в работу в следующей сделке – сразу же!

Однако на форексе далеко не все (ха!) сделки являются прибыльными, поэтому расчёт сложного процента должен корректироваться математическим ожиданием, основанным на серии из многих предыдущих сделок. Поэтому наиболее разумной тактикой учёта для инвестора является использовать всё же ежемесячную (а не посделочную) капитализацию при прогнозировании прибыльности того или иного актива.

Сложный процент в истории

Один из отцов-основателей США Бенджамин Франклин (да, тот, который на стодолларовой купюре) после своей смерти в 1790 году оставил по 1 000 фунтов (или примерно $4 500) двум городам – Бостону (где он родился) и Филадельфии (где вырос), с условием, что они не будут трогать эти деньги в течение 200 лет. Правда, трасты, которым он оставил средства, не использовали фиксированную процентную ставку, а использовали эти средства под выдачу частных ссуд в разное время с разной процентной ставкой. Прошло 200 лет и наступило время снимать средства. К 1990 году трасты обоих городов добились разных результатов, но оба – впечатляющих, демонстрируя нам чудо сложного процента: Бостонский траст набрал около $5 000 000, а Филадельфия могла похвастать суммой в $2 000 000. Оба города решили использовать эти средства на основание различных учебных заведений и учреждения стипендий. (Я написал это, и вообразил, сколько бы эти деньги протянули в нашей стране и на что бы они в конце концов пошли. Стало смешно и грустно одновременно…)

Второй пример использования сложного процента также имеет отношение к финансовому гению американцев. В 1626 году голландские колонисты приобрели у индейцев Ленапе остров Манхэттен за тогдашний эквивалент $24 (в пересчёте на сегодняшние средства – около $1 000). Преподаватели экономики в американских университетах любят приводить в пример эту сделку, указывая на тот факт, что индейцы не распорядились деньгами должным образом. (Ну да, откуда им было про сложный процент знать-то. Теперь вот живут в резервациях и развлекают экскурсантов. Опять-таки, очень напоминает кого-то…). А суть в том, что вложи они средства хотя бы под 10% годовых (по тем временам уже вполне доступная процентная ставка), к сегодняшнему дню они могли бы выкупить обратно всю недвижимость Нью-Йорка, так как располагали бы суммой 100 триллионов долларов!

Ну, и немного абсурдный пример, показывающий, что – теоретически – могут сделать с мизерным капиталом тысячелетия. Известна евангельская притча о том, как одна бедная вдова во времена Иисуса Христа принесла в жертву в храм последнее, что у нее было – две самых мелких монеты, лепты. Отсюда, кстати, и пошло выражение «внести свою лепту». Если представить себе, что в то время существовали банки, и она внесла бы две монетки в банк, то какая сумма накопилась бы на банковском счете к сегодняшнему дню, учитывая, что банк обеспечивает капитализацию процентов в сумме, скажем, пять процентов годовых?

А расчёт показывает, что на сегодняшний день, наследники той вдовы (коих было бы, наверное, половина земного шара) имели бы в своём распоряжении капитал, равный 8.6 х 1031 лепт. Я, конечно, не знаю, сколько стоила тогда одна лепта, но если предположить её стоимость равной одному центу США, то этот капитал намного превысил бы все наличные и безналичные средства, находящиеся в обращении на нашей планете (примерно 10 квинтиллионов долларов).

Сложный процент в наши дни

Как я уже упомянул ранее, сегодня банковская процентная ставка является не самой привлекательной, хоть и считается эталоном надёжности. Сегодня частные лица имеют возможность вкладывать средства с разным балансом надёжности и доходности, но я в личных финансовых планах всегда ориентируюсь на процентную ставку 6% в месяц, с ежемесячной капитализацией. Примерно такую доходность пока что (уже на протяжении полугода) демонстрирует диверсифицированный памм-портфель, который я собрал. 6% в месяц, используя эффект сложного процента, обеспечивают ежегодное удвоение капитала.

Давайте посмотрим, за какой срок можно обеспечить себя пассивным доходом, равным вашей текущей зарплате (и таким образом, освободиться от необходимости работать, что и является моей целью), если иметь в распоряжении такой актив.

Предположим, наша зарплата составляет 100 единиц, т.е. процентов (для простоты расчёта). мы откладываем ежемесячно 1/10 часть зарплаты (10 единиц) и вкладываем эти деньги под 6% в месяц. Наша цель – собрать капитал размером 1 200 единиц. Этот капитал, удваиваясь за год, будет приносить нам 1 200 единиц дохода ежегодно, на которые мы сможем жить, получив те же 100 единиц в месяц, но уже не работая.

Итак:

Обратите внимание на цифру в поле «количество периодов». Это количество месяцев: при первоначальном депозите в 10 единиц (поле «Депозит»), и последующем довложении в 10 единиц ежемесячно (поле «Регулярные довложения»), стабильной процентной ставке 6% в месяц, за 36 месяцев вы создадите капитал размером $1 200, а еще через год снимете свою годовую зарплату на следующие 12 месяцев, при этом ваш депозит останется $1 200, и отныне вы сможете поступать так ежегодно.

Вышеприведённый расчёт демонстрирует ещё одну особенность сложного процента, а именно – его способность многократно усиливать свой эффект при наличии регулярных довложений.

Конечно, вы можете возразить, что вкладывать средства под 6% в месяц довольно рискованно, и что активы, предлагающие подобную доходность, могут не протянуть такое время. Что ж, я придерживаюсь другой точки зрения, но не стану с вами спорить (оставлю силы для ответа на комментарии), а приведу вам примеры при более спокойных процентных ставках:

— Проинвестируйте всего $1 под 20% годовых и через 75 лет вы подарите наследникам… целый миллион долларов!

— Откладывайте всего по 1 доллару в день, инвестируйте полученные деньги под 20% годовых и через 35 лет вы порадуете своих детей все тем же миллионом долларов!

— Продолжайте инвестировать, и еще через 37 лет ваши внуки получат $1 000 000 000!

Правила и приёмы расчёта сложного процента

Прежде всего, следует понять, что правила арифметического расчёта (сложения) процентов тут не подойдут, так как мы имеем дело с умножением (геометрическим рядом). Следовательно, для расчёта суммы, получаемой при помощи сложного процента, следует возвести результат первого начисления процентов в степень, показателем которой будет число периодов.

Прямой расчет сложного процента

Упрощаем на примере:

— Было $5 000;

— Процентная ставка 10% за период (неважно какой период, например, год)

— Надо расчитать, какая сумма получится при вложении на 5 периодов (в нашем случае – лет).

Действия:

— прибавляем процентную ставку к единице: 1 + 0.1 = 1.1

— возводим в степень 5: (1.1)5 = 1.61

— множим наш депозит на это число: $5 000 * 1.61 = $8 052

Вот так-то вот.

Кстати возвести любое число в любую степень можно и без математического образования. Дядя Билл сделал всё за нас, открываем калькулятор Windows и переводим его в инженерный режим:

Набираем единицу с прибавленной процентной ставкой, потом вот ту хитрую кнопочку, потом степень (количество периодов), и жмём «равно».

Увы, калькулятор Windows не позволит расчитать сложный процент с учётом довложений, поэтому для таких расчётов оного я сделал специальный онлайн-калькулятор, которым вы можете пользоваться.

Несколько слов об его использовании:

— Калькулятор позволяет рассчитывать сложный процент для любого периода капитализации. Количество периодов вводится в поле «Количество периодов» (хе… спасибо, Кэп). Например, если проценты капитализируются ежедневно, то в это поле вводим срок инвестиции в днях. Например, 365 дней. А если проценты добавляются к депозиту ежемесячно, вводим срок в месяцах. И так далее.

— В поле «Процент» за период, соответственно, вводим процент, который добавляется к депозиту в конце каждого периода. Например, если у нас 6% в месяц, и мы прогнозируем годовой доход, то в поле «количество периодов» мы вводим 12 (месяцев), а в поле «процент», соответственно, 6 (процентов в один месяц).

— Поле «Депозит» обязательно должно быть отличным от нуля. Это надо помнить при расчётах типа «Сколько лет надо копить на «Запорожец», если откладывать каждый год по 10 баксов». В этом случае в депозит вы уже забиваете первые 10 баксов (вводите 10 в поле «Депозит»), это будет ваше вложение за первый год. В поле «количество периодов» начинаете методом перебора подбирать нужное число. Допустим, калькулятор говорит, что за 50 лет вы сможете собрать нужную сумму. Так вот, не забудьте прибавить первый год, когда вы вложили эти первые 10 баксов. Итого ваше искомое число – 51 год. (Ведь калькулятор начинает отсчитывать периоды с того момента, как ваш первоначальный депозит уже внесён).

— Поле «довложения» поможет вам, кроме добавления процентов к телу депозита в конце каждого периода, довносить какую-то фиксированную сумму, как в примере с зарплатой выше, и в примере с Запорожцем. Если вы не предполагаете так поступать, оставьте в этом поле ноль. Или же здесь может быть и отрицательное число (регулярное «снятие»).

Обратный расчёт сложного процента

Иногда требуется рассчитать, какую сумму надо вложить изначально, чтобы в результате за N периодов получить X. Для этого выполняем вот такую манипуляцию:

$10 000 / (1.1)5 = $6 209

Т.е. мы посчитали, что при ставке 10% (заложена в знаменателе в цифре 1.1) на 5 лет (знаменатель возводится в степень 5), чтобы получить $10 000 в конце (числитель), изначально нам следует вложить $6 209.

(Операция, обратная расчёту сложного процента, называется дисконтированием).

Расчёт средней доходности актива (процентной ставки)

Иногда требуется расcчитать, сколько в среднем приносит тот или иной актив, если мы знаем изначальное и конечное значение его стоимости. Особенно это полезно при расчёте средней ежемесячной доходности памм-счетов и других активов с непостоянной доходностью.

Допустим цена пая памм-счёта изначально составляла $100, а по окончании года она составляет $300. Требуется вычислить, сколько же в среднем в месяц приносит этот памм.

Конечно, вы уже поняли, что неверно взять всю прибыль ($200) и просто поделить на 12 (получится ставка где-то в районе 17%). Такой расчёт упускает из виду ежемесячную капитализацию процентов, особенно если памм использует прогрессирующий ММ (почти все паммы торгуют на определённый процент своего депозита, что и называется прогрессирующим мани-менеджментом, так как сумма, используемая в торговле, увеличивается с увеличением всего депозита в целом).

Вместо этого, нам необходимо извлечь корень 12-й степени из доходности счёта. Здесь нам на помощь приходит всё тот же инженерный калькулятор:

Доходность счёта = 300 / 100 = 3 (депозит увеличился втрое за 12 месяцев)

Корень 12-й степени из 3 = 1.095

Отсюда вывод: средняя доходность данного памма = 9.5% в месяц. Проверяем на калькуляторе:

Примерно правильно!

Сколько ждать удвоения?

Можно использовать простое эмпирическое правило для определения того, как долго надо ждать удвоения суммы при данной процентной ставке. Оно называется «правилом 72». Просто поделите 72 на ставку процентов.

Пример: за сколько месяцев удвоится сумма, при процентной ставке 6% в месяц?

Ответ: 72 / 6 = 12 месяцев.

На этом заканчиваю свой краткий экскурс в увлекательный мир сложных процентов. Желаю всем удачных инвестиций и хороших профитов!

Плюсы и минусы компаундирования

Альберт Эйнштейн назвал это финансовое явление восьмым чудом света или величайшим изобретением человека. Недостатком капитализации является то, что иногда она может работать против потребителей. Речь идет о клиентах, которые имеют ссуды с высокими процентными ставками. Например, задолженность по кредитным картам.

• Пример: Анализируем остаток по кредитной карте в размере 20 000 дол по процентной ставке 20%. Она начисляется ежемесячно, приводит к совокупной ставке в размере 4 388 дол за один год или около 365 дол в месяц.

С другой стороны, этот процесс приносит клиентам пользу. Когда речь заходит об инвестициях, капитализация становится мощным фактором создания богатства. Экспоненциальный рост за счет сложного процента важен для смягчения факторов, которые разрушают благосостояние. К ним относят:

• рост стоимости жизни;
• инфляция;
• снижение покупательной способности;

Паевые инвестиционные фонды предлагают инвесторам один из самых простых способов воспользоваться преимуществами сложных дивидендов. Выбор реинвестирования дивидендов приводит к приобретению большего количества акций фонда. Они получены от взаимного фонда. Со временем накапливаются более сложные проценты. Цикл покупки большего количества акций будет продолжать способствовать росту стоимости инвестиций в фонд.

Рассмотрим следующий пример:

• Инвестиция в паевой инвестиционный фонд с начальными 5000 долларов и годовой прибавкой 2400 долларов. При средней годовой доходности в 12% за 30 лет будущая стоимость фонда составляет 798 500 дол. Сложный процент — это разница между денежными средствами и фактической будущей стоимостью инвестиций. Капитализация вносится в инвестиции.

В этом случае при внесении 77 000 дол или совокупного взноса всего в 200 дол в месяц в течение 30 лет сложный процент составляет 721 500 дол будущего остатка. Доходы от сложных процентов облагаются налогом, если деньги не находятся на защищенном от налогов счете.

Защищенный счет обычно облагается налогом по стандартной ставке, связанной с налоговой шкалой налогоплательщика.

Сложные проценты и использование других калькуляторов для их расчёта

В Интернете предлагается ряд бесплатных приложений по расчёту дивидендов. Многие портативные калькуляторы также могут выполнять эти задачи.

Бесплатный калькулятор капитализации предлагается через финансовые сайты. Он прост в использовании, предлагает выбор смешанных частот от ежедневного до ежегодного. Включает в себя возможность выбора непрерывной компоновки, позволяет вводить фактические даты начала и окончания календаря. После ввода необходимых расчетных данных в результатах отображаются:

• полученные суммы;
• будущая стоимость;
• годовой процентный доход (представляет собой показатель, включающий начисления процентов и ежедневные надбавки);

Различные финансовые сайты предлагают бесплатный онлайн-калькулятор сложных дивидендов. Это приложение довольно простое в использовании. Позволяет вводить ежемесячные дополнительные депозиты к основной сумме. Это полезно для расчета прибыли, когда вносятся дополнительные ежемесячные сбережения. Иногда рассчитывать сложные надбавки помогают финансовые специалисты, работники банков и других учреждений.

Частота составления

Интерес клиента может составлять любой график частоты, от ежедневного до ежегодного. Существуют стандартные схемы составления частот. Они обычно применяются к финансовым инструментам.

1. Для депозитных сертификатов. Типичные графики составления частот – ежедневные, ежемесячные или полугодовые.
2. Для счетов денежного рынка – также ежедневные.
3. Для ипотечных ссуд, ссуд на акции, личных ссуд для бизнеса или счетов кредитных карт наиболее часто применяемый составной график составляется ежемесячно.

Также могут быть различия во временных рамках. Тогда начисленные проценты фактически зачисляются на существующий баланс. Надбавки по счету могут насчитываться ежедневно, но зачисляются только ежемесячно. Когда суммы фактически начисляются или добавляются к существующему балансу, они начинают в сумме давать дополнительные проценты на счет.

Некоторые банки также предлагают то, что называется непрерывно сложным процентом. Он делает добавления к основной сумме в любой момент. В практических целях это не накапливает намного больше, чем ежедневные начисляемые надбавки. Исключением является случай, когда клиент не хочет вкладывать деньги и снимать их в тот же день. Более частое начисление дивидендов выгодно инвестору или кредитору. Для заемщика выгодна обратная ситуация.

Совокупный среднегодовой темп роста

Среднегодовой темп роста широко используется для расчета доходов за периоды времени для:

• акций;
• паевых инвестиционных фондов;
• инвестиционных портфелей;

Также он используется для определения нормы прибыли. Изучается, превысил ли управляющий взаимным фондом или портфельным управляющим рыночную норму прибыли за определенный период времени. Например, рыночный индекс обеспечил общую доходность в 10% за пятилетний период. Управляющий фондом генерировал только 9% годовой доходности за тот же период. В таком случае он уступил рынку.

Совокупный среднегодовой темп роста также может быть использован в других целях (для расчета ожидаемого темпа роста инвестиционных портфелей в течение длительных периодов времени). Это полезно для таких целей, как сбережения для выхода на пенсию.

Что такое сложные проценты

Те, кто хоть раз размещал капитал, независимо от выбранного инструмента (депозит, облигации или акции), наверняка, слышал о сложных процентах. Исходя из названия понятно, что это именно доходность капитала. Но почему же она является сложной и как ее считать?

Сложными процентами называют эффект, когда полученный доход не выводится из инструмента инвестирования, а включается к сумме основного капитала и участвует при дальнейшем расчете доходности.

Если говорить простыми словами, проценты, полученные от капитала, инвестор не расходует на собственные нужды, а вкладывает их в тот же инструмент. В результате этого на следующую дату выплаты дохода они будут начисляться не только на сумму основного капитала, но и на проценты, вложенные в прошлом периоде. Этот маневр также называется реинвестированием, а в банковской среде он более известен как капитализация процентов.

Подобная политика реинвестирования процентов позволяет с каждым годом увеличивать не только сумму основного капитала, но и значительно повысить его доходность. При этом, чем больше срок вложения, тем сильнее заметен положительный эффект, если сравнивать его с расчетом простых процентов. Так, даже относительно небольшую сумму вложений можно увеличить в разы уже через 4-5 лет, а спустя более долгий период времени можно сколотить неплохой капитал. Конечно, многое зависит и от выбранного инструмента. Но, тем не менее, сложные проценты всегда дают положительный эффект.

Преимущества инвестирования с применением сложных процентов:

• Накопительный эффект. При инвестировании с капитализацией на конец периода инвестор будет иметь только первоначальную сумму основного капитала и начисленные за последний период проценты. Используя политику сложных процентов, инвестор на конец периода будет иметь первоначальную сумму со всеми начисленными за весь период процентами.
• Ежегодное повышение суммы доходности, даже если основная ставка инструмента не меняется. За счет увеличения суммы основного капитала на начисленные в прошлом периоде проценты, увеличивается и сумма для исчисления доходности в текущем промежутке времени.
• Возможность увеличения первоначального капитала без дополнительных вложений.

Сложные проценты и инвестиции

Представим, что инвестор выбирает план реинвестирования на брокерском счете. По существу он использует силу компаундирования, во что бы то ни было инвестировать. Инвесторы также используют капитализацию процентов при покупке облигации с нулевым купоном. Традиционные выпуски облигаций предоставляют инвесторам периодические выплаты надбавок на основе первоначальных условий выпуска облигаций.

Поскольку они выплачиваются инвестору в форме чека, процентов нет. Облигации с нулевым купоном не отправляют процентные чеки инвесторам. Вместо этого такой тип облигации приобретается с дисконтом к его первоначальной стоимости. Со временем он растет. Эмитенты облигаций с нулевым купоном используют силу составления. Наблюдается увеличение стоимости облигации. Она должна достичь полной цены при погашении.